Exponentiālfunktion

Exponentiālfunktion

Exponentiālfunktion (Exponentialgröße), zunächst jede Funktion (s.d.) einer Veränderlichen x, welche die Form ax besitzt, also eine Potenz mit der konstanten Basis a und dem veränderlichen Exponenten x. Aber diese Funktion ist nicht eindeutig, denn z. B. a1/2 = √a kann positiv oder negativ sein, und a1/3 = ∛a hat sogar drei verschiedene Werte. Es gibt nun eine Basis, die Zahl e, für die sich die Potenz ex als eindeutige Funktion von x definieren läßt. Diese Zahl e ist die Grenze (s.d.), der sich der Ausdruck (1 + 1/n)n immer mehr nähert, je größer n wird, sie wird durch die unendliche Reihe 1 + 1/1 + 1/1.2 + 1/1.2.3 +... dargestellt, ihr Zahlenwert ist 2,7182818.... In derselben Weise ergibt sich, daß der Ausdruck (1 + x/n)n, wenn n immer größer und größer wird, als Grenzwert die unendliche Reihe (s.d.) 1 + x/1 + x2/1.2 + ... + xm/1.2.3...m + ... besitzt, die für jede Zahl x von der Form: x = α + βi, wo α und β beliebige endliche positive oder negative Zahlen bedeuten und i = √-1 ist, unbedingt konvergiert und daher eine eindeutige Funktion von x ist für jeden endlichen komplexen Zahlenwert von x (s. Komplexe Zahlen). Nennt man diese Funktion f(x), so ergibt sich, daß die Ableitung f'(x) von f(x) (s. Differentialrechnung) wieder gleich f(x) wird. Ferner ist f(1) = e, und es läßt sich beweisen, daß für beliebige x und y die Gleichung gilt: f(x) f(y) = f(x + y), aus der für jede ganze, positive oder negative Zahl m folgt: f(m) = em, [f(1/m)]m = e, f(xm) = [f(x)]m, [f(x/m)]m = f(x). Kurz, die Funktion f(x) stellt für jede reelle Zahl x einen der Werte dar, die sich auch aus der gewöhnlichen Erklärung der Potenz für ex ergeben; z. B. ist f(1/2) die positive Quadratwurzel aus e, f(1/4) die positive vierte Wurzel aus e etc. Man versteht daher unter ex immer die durch jene Reihe bestimmte Funktion von x und nennt E. im engern Sinn eben diese Reihe. Zugleich setzt man fest, daß unter (ex)z, also unter ex erhoben auf die Potenz z immer der Ausdruck exz zu verstehen ist. Man hat dadurch den Vorteil, daß ex für alle reellen und komplexen Werte des Exponenten x eindeutig definiert ist, und daß dasselbe auch von jeder Potenz von ex gilt. Die Funktion ex hat für x = 0 den Wert 1, für positives x ist sie offenbar immer positiv und wächst mit wachsendem x schließlich über alle Grenzen, für negatives x ist sie, wie die Gleichung ex.e-x = e0 = 1 zeigt, ebenfalls immer positiv. Durchläuft daher x alle negativen und alle positiven Werte, so durchläuft ex alle positiven Werte und nimmt jeden nur einmal an, d. h. die Gleichung a = ex hat, wenn a positiv ist, stets eine, aber auch nur eine reelle Lösung x, die für a ˂ 1 negativ ist, für a ˃ 1 aber positiv. Euler, von dem die Bezeichnung e und überhaupt diese ganze Betrachtungsweise herrührt, bemerkte, daß sich aus der Reihe für ex wegen i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 die wichtige Gleichung ergibt: eix = cosx + isinx, die man nach ihm Eulersche Gleichung nennt, und aus der sofort folgt, daß für jedes x gilt: ex+2πi = ex, daß also geradeso wie cosx und sinx die reelle Periode (s.d.) 2π haben, ex die imaginäre Periode 2πi besitzt. Ist y = ex, so nennt man x den Logarithmus von y mit der Basis e oder den natürlichen (hyperbolischen) Logarithmus von y und setzt: x = lgy oder kurz x = ly. Die vorige Gleichung zeigt, daß jede Zahl unendlich viele solcher Logarithmen hat, denn ist x ein Logarithmus von y, so ist offenbar auch jede Zahl von der Form x + 2mπi einer, wo m eine beliebige positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da ex für ein reelles x immer positiv ist, so ergibt sich, daß die natürlichen Logarithmen einer negativen Zahl alle imaginär sind, während jede positive Zahl a einen und nur einen reellen Logarithmus α hat, der für a = 1 den Wert Null, für a ˃ 1 einen positiven, für a ˂ 1 einen negativen Wert besitzt. Für positives a versteht man unter lga gewöhnlich diesen reellen Wert des Logarithmus. Sind α, β in diesem Sinne die Logarithmen der positiven Zahlen a b, so ist a = eα, b = eβ, ab = eαeβ = eα + β, also lg (ab) = lga + lgb, ferner wird für jede positive oder negative Zahl c: ac = (eα)c = eα, also lgac = c lga. Hier ist benutzt, daß man für jede positive Basis a die Potenz ax als eindeutige Funktion von x definieren kann, indem man a mit Hilfe des vorhin erklärten reellen natürlichen Logarithmus von a, der wieder α sei, in der Form a = eα darstellt und ax = (eα)x = eαx setzt. Auf diese Weise gelangt man auch zu den Logarithmen mit einer beliebigen positiven Basis a. Ist y = ax und y positiv, so nennt man die reelle Lösung x der Gleichung y = ax oder y = eαx den Logarithmus von y mit der Basis a und schreibt das: x = a log y. Da αx der natürliche Logarithmus von y ist, also αx = lg y, und α = lg a, so kommt: lga.alogy = lgy und für y = e, weil lge = 1 ist: lg a.aloge = 1, demnach erfordert der Übergang von den natürlichen Logarithmen zu denen mit beliebiger positiver Basis a oder umgekehrt nur die Berechnung von lga oder von alog e. Aus den frühern Gleichungen für die natürlichen Logarithmen eines Produktes ab und einer Potenz ac ergeben sich zugleich für die Logarithmen mit der positiven Basis a die Rechnungsregeln:

alog (bc) = alogb + alogc; alogbk = k.alogb,

wo b, c beliebige positive Zahlen sind, k eine beliebige positive oder negative Zahl. Über das Rechnen mit Logarithmen s.d. Genaueres über die E. findet man in jedem Lehrbuch der Differentialrechnung (s.d.).


http://www.zeno.org/Meyers-1905. 1905–1909.

См. также в других словарях:

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  • Exponentialfunktion — Ex|po|nen|ti|al|funk|ti|on 〈f.; Gen.: , Pl.: en; Math.〉 1. 〈i. w. S.〉 Gleichung der Form y = ax, in der die Variable als Exponent auftritt 2. 〈i. e. S.〉 die e Funktion mit y = ex (e = Basis der natürl. Logarithmen) …   Lexikalische Deutsches Wörterbuch

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